Probabilitas

Probabilitas (Peluang) merupakan salah satu cabang Kombinatorika

Kombinatorika merupakan salah satu cabang matematika yang menghitung jumlah hal-hal yang memenuhi kriteria atau syarat, terkadang adalah menghitung berapa banyak kombinasi/cara yang bisa dilakukan. Sementara Probabilitas atau Peluang merupakan cabang Kombinatorika yang menghitung seberapa mungkin kemungkinan itu akan terjadi dari sekaian banyak cara.

Dalam Ilmu komputer, Probabilitas merupakan ilmu dasar analitik yang harus dikuasai. Karena dalam menganalisis kemungkinan dalam pemrograman, probabilitas akan sangat bermanfaat.

Menghitung Kombinasi (Banyaknya Cara)

1. Kaidah Penjumlahan
Andaikan suatu pekerjaan dapat dipilah menjadi n kemungkinan dan masing-masing kemungkinan dapat diselesaikan dengan r cara berbeda maka secara keseluruhan pekerjan tersebut dapat diselesaikan dengan r1 + r2 + ... + rn cara

Misalkan ada 3 buah rak buku yang keseluruhan isinya berbeda. Rak pertama berisi 30 buku kimia, Rak kedua berisi 20 buku fisika, dan rak ketiga berisi 25 buku matematika, maka berapa banyak cara untuk mengambil salah satu buku tersebut?
Jawab: 30+20+25 = 75 cara. (bisa salah satu dari buku kimia, atau fisika, atau matematika)

Contoh lain lagi bila perusahaan A memiliki 8 jenis mobil, perusahaan B memiliki 3 jenis mobil, dan perusahaan C memiliki 4 jenis mobil. Bila kita ingin membeli salah satu dari mobil tersebut, maka ada berapa banyak cara untuk membeli mobil?
Jawab: 8+3+4 = 15 cara. (bisa salah satu dari mobil perusahaan A, atau B, atau C)

2. Kaidah Perkalian
Andaikan suatu pekerjaan merupakan rangkaian dari n pekerjaan dan masing-masing pekerjaan dapat diselesaikan dengan r cara, maka keseluruhan pekerjaan tersebut dapat diselesaikan dengan r1 x r2 x ... x rn cara.

Misalkan ada 10 rumah, dalam setiap rumah terdapat 2 orang anak. Bila kita ingin menculik salah satu dari mereka, maka berapa banyak cara untuk menculik mereka?
Jawab: 10 x 2 = 20 cara. (bisa salah satu anak dr rumah 1, 2, 3, dst)

3. Teknik Perpangkatan
Definisi dari perpangkatan sama seperti Perkalian, karena perpangkatan muncul dari perkalian namun pada perpangkatan setiap jenis pekerjaan akan memiliki hasilnya sendiri. dan hasil-hasil dari beberapa jenis pekerjaan tersebutlah yang akan menjadi jumlah cara penyelesaian.

Misalkan tiga buah dadu (bersisi 6, bertuliskan angka 1-6) akan dilempar. Maka berapa banyaknya cara muncul mata dadu?
Jawab: 6³ = 216 cara. (bisa 1-1-1, 1-1-2, 1-2-1, ..., 6,6,6)

Misalkan akan dibentuk plat nomor yang akan dibuat dari angka 0-3 sebanyak 4 digit. maka ada berapa jumlah kombinasi dari angka-angka tersebut?
Jawab: 0-3 (4 buah angka). karena sebanyak 4 digit, maka:
4⁴ = 256 cara. (bisa 0000, 0001, 0010, ..., 3333)

4. Teknik Faktorial
Faktorial juga sama dengan Perpangkatan. Jika pada Perpangkatan objek yang sama bisa diulang kembali (misal 1111, 1100, 1011, 1001, dsb) maka pada faktorial objek yang sama tidak dapat digunakan kembali.
Faktorial sendiri merupakan perkalian berulang dari n sampai 1.
n! = n x n-1 x n-2 x ... x 2 x 1.
misal 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Misalkan huruf ABCDE akan disusun ulang. Maka berapa banyak cara menyusunnya?
Jawab: karena ABCDE terdapat 5 objek (huruf A-E) maka
5! = 120 cara. (bisa ABCED, BADCE, ECBDA, dsb)

Misalkan 3 orang pria macho akan duduk di sebuah bioskop. Berapa cara untuk mengatur tempat duduk mereka?
Jawab: 3! = 6 cara.

5. Teknik Permutasi
Jika terdapat sebanyak n objek dan akan dilakukan pengambilan sebanyak r objek, maka terdapat ^n!/_(n-r)! cara pengambilan yang dapat dilakukan.

Misalkan adit, don, dan purwanto akan dipilih menjadi ketua dan wakil ketua kelas. Berapa banyak cara untuk menyusun ketua dan wakil?
Jawab: Banyaknya objek adalah 3 dan yang akan dipilih adalah 2. maka
^3!/_(3-2)! = 6 cara. (bisa don ketua-adit wakil, adit ketua-don wakil, dsb)

Huruf-huruf ABCDE akan diambil 3 huruf lalu disusun. Maka ada berapa banyak cara menyusunnya?
Jawab: Banyaknya objek adalah 5. dan yang akan dipilih adalan 3. maka
^5!/_(5-3)! = 60 cara (bisa AB, BA, BC, CD, dsb)

6. Teknik Kombinasi
Jika pada permutasi urutan adalah penting (misal: AB dan BA bukanlah sesuatu yang sama), maka pada kombinasi urutan tidaklah penting (AB dan BA merupakan sesuatu yang sama). Bila ada n objek dan akan diambil sebanyak r objek, maka terdapat ^n!/_r!(n-r)! cara pengambilan yang dapat dilakukan.

Misalkan dalam sebuah toko terdapat 6 jenis donat. Jika anda mau membeli 3 jenis donat yang berbeda jenis, maka berapa banyak cara anda membeli donat?
Jawab: Banyaknya objek adalah 6. dan yang akan dipilih adalah 3. maka
^6!/_3!(6-3)! = 20 cara (bisa coklat-keju, keju-srikaya, dsb)

Misalkan ada 7 buah kelereng (diberi nama A B C D E F G) berbeda jenis, akan diambil 5 kelereng. maka berapa banyak cara mengambil kelereng?
Jawab: Banyaknya objek adalah 7. dan yang akan dipilih adalah 5. maka
^7!/_5!(7-5)! = 21 cara (bisa ABCDE, ABCDFG, dsb)

Menghitung Probabilitas (Peluang)

Setelah diketahui berapa banyak cara yang mungkin terjadi, barulah kita dapat menghitung berapa peluang hal-hal tersebut mungkin terjadi. Peluang merupakan perbandingan dari hal yang diinginkan terjadi dan banyaknya cara hal-hal terjadi.

Misalkan seperti pada soal pertama di kaidah penjumlahan, bila ada 30 buku kimia, 20 buku fisika, dan 25 buku matematika. maka banyak cara terambilnya adalah 75. Lalu, berapa peluang terambilnya buku matematika?
Jawab: 25/75 = 0,33

Semakin mendekati 0, maka makin sulit suatu hal menjadi kenyataan, sementara bila semakin mendekati 1, hal tersebut semakin mudah menjadi kenyataan.