Home » » Probabilitas dan Aturan Bayes

Probabilitas dan Aturan Bayes

Written By Harso Adjie Brotosukmono on Sabtu, 21 Oktober 2017 | 23.42


Aturan Bayes merupakan hal yang cukup unik di dunia probabilitas. Terkadang ada logical fallacy yang kita lakukan di kehidupan sehari-hari yang dapat diperbaiki menggunakan prinsip logika dari aturan Bayes. Misalnya, jika sebuah tes terhadap penyakit kanker berpeluang berhasil 99% terhadap orang yang positif kanker, maka jika kita melakukan tes kanker dan mendapat hasil positif, belum tentu berpeluang 99% terkena kanker karena ada beberapa faktor lain yang akan kita bahas pada tulisan ini.

Sebelum masuk ke aturan Bayes umum, kamu harus tau terlebih dahulu tentang beberapa hukum peluang diantaranya hukum dasar peluang, law of conditional probability, dan law of total probability.



Aturan Dasar Peluang

Beberapa aturan dasar peluang yang perlu diketahui. antara lain:

Hukum Penjumlahan

Bila A dan B merupakan kejadian yang sembarang: 

Bila A dan B merupakan kejadian saling bebas: 

Perhatikan bahwa P(A ∪ B) (dibaca peluang A union B) merupakan peluang terjadinya A maupun B sementara P(A ∩ B) (dibaca peluang A intersection B) merupakan peluang terjadinya A dan B sekaligus. Secara geometris hubungan A, B, union, dan intersection dapat digambarkan dalam diagram venn:
Union (kiri) dan Intersection (kanan)

Hukum Kejadian Komplementer

Sudah kita ketahui sejak dahulu bahwa peluang terjadinya semesta (terjadi + tidak terjadi) adalah 1. Maka bila Aᶜ merupakan seluruh kejadian di luar A, hubungan peluang terjadinya kejadian Aᶜ dengan A dapat dijelaskan dalam hukum kejadian komplementer, yaitu:

contoh soal
Suatu generator dapat fail disebabkan oleh gangguan pada unit terminal (T) atau sistem eksitasi (E). Probabilitas terjadinya salah satu gangguan P(T) = p dan P(E) = q. Probabilitas gangguan terjadi karena keduanya P(T ∩ E) = r. Tentukan:
  1. Peluang gangguan terjadi hanya karena unit terminal.
    P(T only) = P(T) - P(T ∩ E)
    P(T only) = p-r
  2. Peluang tidak ada gangguan
    P((T ∪ E)ᶜ) = P(S) - [P(T) + P(E) - P(T ∩ E)]
    P((T ∪ E)ᶜ) = 1-p-q+r
  3. Peluang gangguan hanya terjadi karena satu dari dua hal
    P(T only, E only) = P(T) + P(E) - 2.P(T ∩ E)
    P(T only, E only) = p+q-2r

Law of Conditional Probability

Conditional probability atau peluang bersyarat merupakan peluang dari kejadian dengan syarat tertentu. Misalkan ada kejadian A dan B, maka P(A|B) merupakan peluang terjadinya A dengan syarat B telah terjadi lebih dahulu. Maka P(A|B) dapat dirumuskan sebagai:

Jika P(A ∩ B) merupakan nilai peluang tepat terjadinya A dan B sekaligus, maka dapat dirumuskan:

Kedua persamaan ini dapat dijadikan dasar bagi Law of Conditional Probability umum, yaitu peluang terjadinya serangkaian kejadian A, B, C, ... sekaligus yang diantara mereka ada yang terjadi lebih dahulu atau terlambat namun tidak saling bebas, maka peluangnya:

contoh soal
Dalam sebuah kantong terdapat 3 bola berwarna merah, 3 berwarna hijau, dan 3 berwarna biru.
Berapakah peluang terambilnya bola secara berurutan: merah, hijau, biru?

Di sini biru baru bisa dianggap terjadi jika merah dan hijau terjadi, begitu juga hijau baru bisa dianggap terjadi bila merah telah terjadi. Maka peluang terjadi semuanya adalah
P(M ∩ H ∩ B) = P(M).P(H|M).P(B|H ∩ M) 
P(M ∩ H ∩ B) = (3/9).(3/8).(3/7)
P(M ∩ H ∩ B) = 27/504

Law of Total Probability

Jika A merupakan sebuah kejadian yang dibagun oleh himpunan bagian dari kejadian-kejadian lain E1, E2, E2, dst maka peluang terjadinya A dapat dicari dengan:

secara geometris kedudukan A di diagram venn adalah sebagai berikut:
Law of Total Probability secara geometris

contoh soal
Kualitas dari sebuah pabrik lampu adalah sebagai berikut: 99% lampu dari pabrik X bisa berumur lebih dari 5000 jam sementara 95% lampu dari pabrik Y bisa berumur lebih dari 5000 jam. Diketahui pada sebuah toko lampu, pabrik X menyuplai 60% dari total lampu di toko tersebut. Jika seseorang membeli lampu dari toko, berapa peluang masa hidup lampu tersebut bisa lebih dari 5000 jam?

Pada kasus tersebut, P(A) dalah peluang masa hidup lampu lebih dari 5000 jam sementara P(A|X) peluang lampu yang hidup lebih dari 5000 jam dengan syarat berasal dari pabrik X. Hal yang sama dengan P(A|Y). P(X) merupakan peluang lampu berasal dari pabrik X, begitu juga P(Y). Asumsikan hanya ada dua pabrik yang menyuplai ke toko, maka P(Y) = 1 - P(X). Lalu:
P(A) = P(A|Y).P(Y) + P(A|X).P(X)
P(A) = 0,95.0,4 + 0,99.0,6 
P(A) = 0,974 = 97,4 %

Aturan Bayes Umum

Sesuai yang disebutkan di atas tadi sebagai pengantar menuju probabilitas dan aturan Bayes, jika peluang sebuah tes kanker berhasil 99% terhadap pengidap kanker, belum tentu jika kamu melakukan tes dan mendapatkan hasil positif, maka 99% kamu berpeluang mengidap kanker. Hal tersebut sangat menyalahi law of conditional probability. Karena P(TesBerhasil|Kanker) jelas tidak sama dengan P(Kanker|TesBerhasil). Permasalahan ini bisa diselesaikan dengan aturan Bayes.

Dengan menggabungkan law of conditional probability dan law of total probability didapat:

Jika A merupakan subkejadian dari beberapa kejadian, maka dapat dijabarkan kembali

contoh soal
Suatu mata kuliah teori probabilitas  diikuti oleh 50 mahasiswa tahun ke 2, 15 mahasiswa tahun ke 3 dan 10 mahasiswa tahun ke 4. Diketauhi mahasiswa yang mendapatkan nilai A adalah 10 orang dari mahsiswa tahun ke 2, 8 orang dari mahasiswa tahun ke 3 dan 5 orang mahasiswa tahun ke 4. Bila seorang mahasiswa dipilih secara acak, berapakah peluang dia mahasiswa tahun kedua bila diketahui mendapat nilai A?

Akan dicari P(T2|A).
Dari deskripsi soal dapat kita ekstrak informasi bahwa P(T2) = 2/3, P(A) = 23/75, dan P(A|T2) = 1/5
Maka sesuai aturan bayes:
P(T2|A) = P(A|T2).P(T2)/T(A)
P(T2|A) = (1/5).(2/3)/(23/75)
P(T2|A) = 10/23

0 comments :

Posting Komentar

Brotot Facts: